AD//EG nên \(\frac{AB}{BG}=\frac{BD}{BE}\Leftrightarrow\frac{AB}{BD}=\frac{BG}{BE}\left(1\right)\)

Lại có AD là ph.giác nên \(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{DC}\left(2\right)\)

AD//EF\(\Rightarrow\frac{AC}{CD}=\frac{CF}{EC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) suy ra (1)=(3)\(\Rightarrow\frac{BG}{BE}=\frac{CF}{CE}\)

BE=CE nên ĐPCM

Bạn thay điểm D bằng điểm K, điểm G bằng điểm D, điểm E bằng điểm M nhé, điểm F bằng điểm E nhé

Ta có: AK là đường phân giác của \(\Delta\)ABC nên

\(\frac{KB}{AB}=\frac{KC}{AC}\)(1)

Do MD//AK nên

\(\Delta\)ABK\(\sim\)\(\Delta\)DBM và \(\Delta\)ECM\(\sim\)\(\Delta\)ACK

Do đó:

\(\frac{KB}{AB}=\frac{BM}{BD}\) và \(\frac{CM}{CE}=\frac{KC}{AC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BM}{BD}=\frac{CM}{CE}\)

mà BM=CM(do M là trung điểm của BC)

nên BD=CE(đpcm)

@Nguyễn Lê Phước Thịnh

1). Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và

F B A ^ = E C A ^ = A ^ 2 ⇒ Δ A B F ∽ Δ A C E .

2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.

Ta có  G F G C = B F C E = A B A C = D B D C ⇒ G D ∥ F B   , và  F B ∥ A D  ta có  G ∈ A D .

3). Chứng minh  B Q G ^ = Q G A ^ = G A E ^ = G A C ^ + C A E ^ = G A B ^ + B A F ^ = G A F ^ , nên AGQF nội tiếp, và Q P G ^ = G C E ^ = G F Q ^ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.

1) Chứng minh rằng tam giác \( A B F \) đồng dạng với tam giác \( A C E \):

- Tam giác \(ABF\) và \(ACE\) có:
  + Góc \(A\) chung.
  + Góc \(BAF\) bằng góc \(CAE\) (vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) và \(CF\), \(BE\) song song với \(AD\)).
  
  Do đó, tam giác \(ABF\) đồng dạng với tam giác \(ACE\) (theo trường hợp góc-góc).

2) Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy:

- Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\).
- \(AD\) là phân giác góc \(BAC\), và \(BE\), \(CF\) song song với \(AD\). Do đó, \(G\) cũng nằm trên phân giác \(AD\).
- Vậy \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại \(G\).

3) Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn:

- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) là \(\omega\).
- \(QE\) cắt \(\omega\) tại \(P\) khác \(E\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn \(\omega\).
- \(GQ\) song song với \(AE\), và \(AE\) là đường kính của \(\omega\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) nằm trên phân giác của \(BAC\)). Do đó, \(GQ\) là dây cung của \(\omega\).
- \(PF\) là tiếp tuyến của \(\omega\) tại \(P\) (vì \(QE\) là tiếp tuyến và \(PF\) là phần kéo dài của \(QE\)).
- Góc \(PGF\) bằng góc \(GAC\) (cùng chắn cung \(GC\) của \(\omega\)).
- \(AF\) là trung trực của \(AB\), nên \(ABF\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, góc \(AFB\) bằng góc \(ABF\).
- Góc \(ABF\) bằng góc \(GAC\) (do đồng dạng của tam giác \(ABF\) và \(ACE\)).
- Vậy, góc \(PGF\) bằng góc \(AFB\). Do đó, \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

a. Ta có:

MG//AD (gt)

KC//AD (gt)

=> MG//KC.

b.

c. Ta có: AD//KC (gt)

=> góc DAC = góc ACK

Mà góc DAC = góc DAB (AD là phân giác)

=> Góc ACK = góc DAB .

Mà góc DAB = góc AKC (AD//KC)

=> Góc ACK = góc AKC.

=> Tam giác AKC cân tại A.

VuongTung10x ơi, chứng minh BG=CF mà

P/s: Đề sai phải sửa thành chứng minh BF = CG

Bài làm:

Ta có: Vì AD // FM 

=> \(\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{BM}\left(1\right)\)

Vì GM // AD

=> \(\frac{CG}{AC}=\frac{CM}{DC}\left(2\right)\)

Nhân vế (1) và (2) với nhau ta được:

\(\frac{AB}{BF}.\frac{CG}{AC}=\frac{BD}{BM}.\frac{CM}{DC}\left(3\right)\)

Mà M là trung điểm của BC => BM = CM (4)

Lại có AD là phân giác của tam giác ABC và D thuộc BC

=> \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\left(5\right)\)

Kết hợp (3) với (4) và (5) ta được:

\(\frac{AB}{AC}.\frac{CG}{BF}=\frac{BD}{DC}.\frac{CM}{BM}\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}.\frac{CG}{BF}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow\frac{CG}{BF}=1\)

\(\Rightarrow CG=BF\)